Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen

Die Schülerinnen und Schüler können für elementare gebrochen-rationale Funktionen der Form den Funktionsterm analysieren und die Gleichungen der zugehörigen Asymptoten angeben sowie den treffenden Funktionsgraphen zuordnen.

Zur Binnendifferenzierung kann die Bedeutung des Parameters a bei Funktionen der Form in Bezug auf die Streckung des Graphen der Grundfunktion erarbeitet werden.

Während der Erarbeitung legen die Schülerinnen und Schüler ihr individuelles Lerntempo selbst fest und können die Sicherheit im Umgang mit den selbst erarbeiteten Inhalten in abschließenden, grundlegenden Aufgaben überprüfen. Eine kognitive Aktivierung wird durch Freihandeingabe der selbst formulierten Lösung erreicht. Mögliche Lösungsvorschläge sind als abgestufte Lernhilfen an passenden Stellen eingefügt. Dies ist mit einem Glossar innerhalb des Kurses umgesetzt.
Zusätzlich werden die erworbenen Kenntnisse zur Erstellung kreativer Lernprodukte herangezogen. Dem folgt ein Peer-Feedback mit der Diskussion der Graphen.

Zunächst aktivieren die Schülerinnen und Schüler in einer Auswahlübung ihre Kenntnisse über Definitionsmengen und insbesondere Definitionslücken. Sie füllen anschließend per Drag & Drop einen Lückentext aus und halten den entstandenen Text zur Einführung der neuen Funktionen-Klasse der gebrochen-rationalen Funktionen im Heft fest.

Mit Hilfe einer Geogebra-Aktivität untersuchen die Lernenden den Verlauf des Graphen der Funktion x↦(1/(x+2))-1 zunächst mithilfe von einzelnen geplotteten Punkten (im ersten Schritt in groben Schritten; anschließend verfeinert). Dabei wird ihr Augenmerk auf die Besonderheit an der Definitionslücke gelenkt und sie erkennen die senkrechte Asymptote. Die Lernenden formulieren dabei ihre Beobachtungen schriftlich. Durch das Zoomen des Funktionsgraphen in der Mathematiksoftware erkennen die Lernenden, dass der Funktions-Graph der Asymptote beliebig nah kommt, sie aber nie berührt oder schneidet. Sie formulieren zunächst selbst, wie sie anhand des Funktionsterms zu den Gleichungen der senkrechten und waagrechten Asymptote kommen. Im Anschluss werden diese Erkenntnisse mit Hilfe eines Lückentexts, der mit vorgegebenen Text-Bausteinen gefüllt wird, zusammengefasst.

Am Ende der ersten Unterrichtsstunde halten die Schülerinnen und Schüler die gewonnenen Erkenntnisse im Heft fest. Sie können dann den Zusammenhang zwischen den Parametern b und c im Funktionsterm und den Asymptoten sowie dem Verlauf des Graphen der Funktion herstellen und dies in beiden Richtungen: Term ® Graph sowie umgekehrt Graph ® Term nutzen.

In der zweiten Unterrichtsstunde werden die oben beschriebenen Kenntnisse zunächst in zwei Zuordnungsaufgaben vertieft.

In der ersten Aufgabe erhalten die Schülerinnen und Schüler vier Funktionsterme und ordnen die zutreffenden Gleichungen der Asymptoten und im Anschluss den korrekten Graphen zu. Dadurch sollte am Ende der ersten Übung diese Zuordnung verankert sein.

Anschließend können sie ihren Kenntnisstand mit einer direkten Zuordnung von vorhandenen Graphen zu gegebenen Termen unter Beweis stellen.

Der vierte Abschnitt erlaubt den Schülerinnen und Schülern, sich mit dem Thema kreativ und interaktiv auseinanderzusetzen. Sie erstellen in der Mathematiksoftware ein eigenes Graphen-Kunstwerk, welches sie in eine gemeinsame Galerie hochladen. Zudem entnehmen sie der Galerie ein Kunstwerk mit der Aufgabe, die Entstehung durch die eigene Anwendung der Mathematiksoftware nachzuvollziehen. Abschließend kommentieren sie das gewählte Kunstwerk mit den Gleichungen der Asymptoten oder gehen auf Kommentare von Mitschülerinnen und Mitschülern ein.

Der letzte Abschnitt steht optional zur Verfügung und wird voraussichtlich nur von den schnellen, leistungsstärkeren Lernenden bearbeitet. Hier wird die Bedeutung des Parameters a im Funktionsterm für den Graphen untersucht.
Zunächst ordnen sie vier Terme den passenden Graphen zu. Falls dabei Probleme entstehen, können die Lernenden auf eine Geogebra-Aktivität mit Schieberegler für den Parameter a zugreifen.

Abschließend halten die sie ihre Beobachtungen in diesem Abschnitt schriftlich fest, so dass diese Erkenntnisse in der Folgestunde zur Verfügung stehen, wenn die gesamte Klasse das Thema „Bedeutung des Parameters a im Funktionsterm für den Graphen“ erarbeitet.

Der mebis-Kurs ist im Ein-Themen-Format angelegt.

Zu Beginn werden die Schülerinnen und Schüler über die Arbeitsform informiert und dazu aufgefordert, ihr Heft bereit zu halten, um erarbeitete Ergebnisse festzuhalten.

Die Lernenden werden darauf hingewiesen, dass sie nach Abschluss einer Aktivität stets auf die Kurs-Oberfläche zurückkehren sollen, um zuverlässig die darauf folgenden Informationen zu erhalten.

Die Aktivitäten sind jeweils mit Textfeldern angeleitet und es werden in fester Reihenfolge H5P- bzw. Geogebra-Aufgaben bearbeitet. Dabei wird die nächste Aktivität meist nach Abschluss der vorhergehenden Aktivität freigeschaltet.

Im letzten Abschnitt „Lehrmaterial“ des Kurses befinden sich die H5P-Anwendungen, auf die in den vorherigen Abschnitten in Textseiten zugegriffen wird. Dieser ist für die Lernenden verborgen.

Die Lehrkraft kann einzelne Aktivitäten kürzen oder ergänzen, sollte dabei aber die Bedeutung des verborgenen Abschnitts „Lehrmaterial“ (s. o.) beachten.

Vor allem in der zweiten Unterrichtsstunde unterscheiden sich voraussichtlich die Bearbeitungszeiten der Aufgaben je nach Leistungsstand der Schülerin bzw. des Schülers. Leistungsstarke Lernende bekommen den Hinweis, dass sie den Differenzierungsabschnitt „Für die Schnellen“ bearbeiten und in der Folgestunde der Klasse ihre Erkenntnisse mitteilen dürfen.
Die Lehrkraft entscheidet je nach Leistungsstand der Klasse, ob die Bearbeitung herkömmlicher Übungsaufgaben notwendig ist.

Die Lehrkraft kann im Kurs einsehen, wer die Aktivitäten zur Differenzierung im Abschnitt „Für die Schnellen“ bearbeitet hat, so dass diese Lernenden in der Folgestunde beim Erarbeiten der Streckung des Graphen in y-Richtung gezielt eingebunden werden können.